Родился 13 сентября 1969 года в г. Бор Нижегородской области.
Андрей Слепнев окончил Нижегородский государственный университет им. Лобачевского по специальности «прикладная математика» и Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова по специальности «юриспруденция».
Начал трудовую деятельность в сфере страхования, где за несколько лет проделал путь от руководителя проекта до генерального директора Российского союза автостраховщиков.
С 2003 по 2005 годы работал заместителем генерального директора Союза «Координационного Совета объединений работодателей России».
С 2005 по 2007 годы – начальником Департамента сопровождения приоритетных национальных проектов Администрации Президента Российской Федерации.
В 2007 году занял пост заместителя министра сельского хозяйства Российской Федерации, в 2009 году – заместителя министра экономического развития Российской Федерации.
С февраля 2012 года по январь 2016 года являлся членом Коллегии (министром) по торговле Евразийской экономической комиссии.
С февраля 2016 года по апрель 2018 года занимал должности помощника Председателя Правительства Российской Федерации Д.А. Медведева, заместителя руководителя Аппарата Правительства Российской Федерации – директора Департамента проектной деятельности Правительства Российской Федерации.
С мая 2018 года по февраль 2020 года являлся генеральным директором АО «Российский экспортный центр».
С 3 марта 2020 года Решением Высшего Евразийского экономического совета назначен членом Коллегии (министром) по торговле Евразийской экономической комиссии.
Женат, трое детей.