Нарадзіўся 13 верасня 1969 года ў г. Бор Ніжагародскай вобласці.
Андрэй Сляпнёў скончыў Ніжагародскі дзяржаўны ўніверсітэт імя Лабачэўскага па спецыяльнасці «прыкладная матэматыка» і Маскоўскі дзяржаўны ўніверсітэт імя М.В. Ламаносава па спецыяльнасці «юрыспрудэнцыя».
Пачаў працоўную дзейнасць у сферы страхавання, дзе за некалькі гадоў прайшоў шлях ад кіраўніка праекта да генеральнага дырэктара Расійскага саюза аўтастрахоўшчыкаў.
З 2003 па 2005 гады працаваў намеснікам генеральнага дырэктара Саюза «Каардынацыйнага Савета аб'яднанняў працадаўцаў Расіі».
З 2005 па 2007 гады – начальнікам Дэпартамента суправаджэння прыярытэтных нацыянальных праектаў Адміністрацыі Прэзідэнта Расійскай Федэрацыі.
У 2007 годзе заняў пасаду намесніка міністра сельскай гаспадаркі Расійскай Федэрацыі, у 2009 годзе – намесніка міністра эканамічнага развіцця Расійскай Федэрацыі.
З лютага 2012 года па студзень 2016 года з'яўляўся членам Калегіі (міністрам) па гандлі Еўразійскай эканамічнай камісіі.
З лютага 2016 года па красавік 2018 года займаў пасады памочніка Старшыні Ўрада Расійскай Федэрацыі Дз.А. Мядзведзева, намесніка кіраўніка Апарату Ўрада Расійскай Федэрацыі – дырэктара Дэпартамента праектнай дзейнасці Ўрада Расійскай Федэрацыі.
З мая 2018 года па люты 2020 года з'яўляўся генеральным дырэктарам АТ «Расійскі экспартны цэнтр».
Жанаты, трое дзяцей.